學(xué)習(xí)傅里葉變換需要面對(duì)大量的數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)功底較差的同學(xué)聽到傅里葉變換就頭疼。事實(shí)上，許多數(shù)學(xué)功底好的數(shù)字信號(hào)處理專業(yè)的同學(xué)也不一定理解傅里葉變換的真實(shí)含義，不能做到學(xué)以致用!

事實(shí)上，傅里葉變換的相關(guān)運(yùn)算已經(jīng)非常成熟，有現(xiàn)成函數(shù)可以調(diào)用。對(duì)于絕大部分只需用好傅里葉變換的同學(xué)，重要的不是去記那些枯燥的公式，而是解傅里葉變換的含義及意義。

本文試圖不用一個(gè)數(shù)學(xué)公式，采用較為通俗的語(yǔ)言深入淺出的闡述傅里葉變換的含義、意義及方法，希望大家可以更加親近傅里葉變換，用好傅里葉變換。

一偉大的傅里葉、偉大的爭(zhēng)議!

1807年，39歲的法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉于法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上展示了一篇論文(此時(shí)不能算發(fā)表，該論文要到21年之后發(fā)表)，論文中有個(gè)在當(dāng)時(shí)極具爭(zhēng)議的論斷：“任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成”。

這篇論文，引起了法國(guó)另外兩位著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯和拉格朗日的極度關(guān)注!

58歲的拉普拉斯贊成傅里葉的觀點(diǎn)。

71歲的拉格朗日(貌似現(xiàn)在的院士，不用退休)則反對(duì)，反對(duì)的理由是“正弦曲線無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)” 。屈服于朗格朗日的威望，該論文直到朗格朗日去世后的第15年才得以發(fā)表。

之后的科學(xué)家證明：傅里葉和拉格朗日都是對(duì)的!

有限數(shù)量的正弦曲線的確無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)，然而，無(wú)限數(shù)量的正弦曲線的組合從能量的角度可以非常無(wú)限逼近帶有棱角的信號(hào)。

二傅里葉變換的定義

后人將傅里葉的論斷進(jìn)行了擴(kuò)展：滿足一定條件的函數(shù)可以表示成三角函數(shù)(正弦和/或余弦函數(shù))或者它們的積分的線性組合。如何得到這個(gè)線性組合呢?這就需要傅里葉變換。

一定條件是什么呢?

這是數(shù)學(xué)家研究的問題，對(duì)于大多數(shù)搞電參量測(cè)量的工程師而言，不必關(guān)注這個(gè)問題，因?yàn)椋妳⒘繙y(cè)量中遇到的周期信號(hào)，都滿足這個(gè)條件。

這樣，在電參量測(cè)量分析中，我們可以用更通俗的話來(lái)描述傅里葉變換：

任意周期信號(hào)可以分解為直流分量和一組不同幅值、頻率、相位的正弦波。分解的方法就是傅里葉變換。

并且，這些正弦波的頻率符合一個(gè)規(guī)律：是某個(gè)頻率的整數(shù)倍。這個(gè)頻率，就稱為基波頻率，而其它頻率稱為諧波頻率。如果諧波的頻率是基波頻率的N倍，就稱為N次諧波。直流分量的頻率為零，是基波頻率的零倍，也可稱零次諧波。

三傅里葉變換的意義

1為什么要進(jìn)行傅里葉變換呢?

傅里葉變換是描述信號(hào)的需要。

只要能反映信號(hào)的特征，描述方法越簡(jiǎn)單越好!

信號(hào)特征可以用特征值進(jìn)行量化。

所謂特征值，是指可以定量描述一個(gè)波形的某種特征的數(shù)值。全面描述一個(gè)波形，可能需要多個(gè)特征值。

比如說(shuō)：正弦波可以用幅值和頻率兩個(gè)特征值全面描述;方波可以用幅值、頻率和占空比三個(gè)特征值全面描述(單個(gè)周期信號(hào)不考慮相位)。

上述特征值，我們可以通過示波器觀測(cè)實(shí)時(shí)波形獲取，稱為時(shí)域分析法。事實(shí)上，許多人都習(xí)慣于時(shí)域分析法，想要了解一個(gè)信號(hào)時(shí)，一定會(huì)說(shuō)：“讓我看看波形!”

可是，除了一些常見的規(guī)則信號(hào)，許多時(shí)候，給你波形看，你也看不明白!

復(fù)雜的不講，看看下面這個(gè)波形，能看出道道嗎?

我們能看到的僅僅是一個(gè)類似正弦波的波形，其幅值在按照一定的規(guī)律變化。

如何記載這個(gè)波形的信息呢?尤其是量化的記載!

很難!

事實(shí)上，上述波形采用傅里葉變換后，就是一個(gè)50Hz的正弦波上疊加一個(gè)40Hz的正弦波，兩者幅度不同，40Hz的幅度越大，波動(dòng)幅度就越大，而波動(dòng)的頻率就是兩者的差頻10Hz(三相異步電動(dòng)機(jī)疊頻溫升試驗(yàn)時(shí)的電流波形)。

關(guān)鍵詞： 傅里葉變換