素?cái)?shù)的定義很簡(jiǎn)單，小學(xué)生都懂，但卻有許多經(jīng)典的數(shù)學(xué)未解之謎都與它有關(guān)。

因此，素?cái)?shù)在數(shù)論中的地位非常重要。

現(xiàn)在，一個(gè)跟它有關(guān)的猜想，就被26歲的牛津大學(xué)在讀博士生給證明了。

這是匈牙利數(shù)學(xué)家最早在1930年代提出來(lái)的一個(gè)關(guān)于原始集的問(wèn)題。

由于小哥用到的都是已有論點(diǎn)，許多數(shù)學(xué)家都被他的聰明方法驚到了。

具體是什么，一起來(lái)看。

（前方一些高能預(yù)警。。）

來(lái)自1935年的猜想

首先，不知道原始集（Primitive sets）這個(gè)概念大家熟不熟。

它和素?cái)?shù)的定義差不多，指的是一組不能互相被整除的數(shù)字的集合，比如{6，28，496，8128}。

當(dāng)然，這些數(shù)都要大于1。

由于素?cái)?shù)只能被1和它本身整除，那么任何素?cái)?shù)組成的集合就屬于一種特殊的原始集。

△ 圖源Quanta Magazine

原始集這個(gè)概念是由匈牙利數(shù)學(xué)家Paul Erd?s在1930年代提出的，最早只是用于證明起源于古希臘的完美數(shù)。

雖然它的定義很簡(jiǎn)單，但圍繞著它也產(chǎn)生了一些很有趣的屬性。

比如你無(wú)法確定原始集到底有多少種組合，就比如在1-1000這些數(shù)中，占去一半數(shù)量的501-1000，拿出其中任意幾個(gè)數(shù)字都可以構(gòu)成一個(gè)原始集，因?yàn)樗鼈兌紵o(wú)法被互相整除。

不過(guò)雖然無(wú)法確定組合有多大，但Paul Erd?s發(fā)現(xiàn)對(duì)于任何原始集（包括無(wú)限集），它的“Erd?s和”都有上界，即小于或等于某個(gè)數(shù)字。

什么是“Erd?s和”？

就是對(duì)集合中的每個(gè)數(shù)字n求表達(dá)式1/(n log n)的和，用公式表達(dá)就是這樣：

比如集合{2, 3, 55}，它的“Erd?s和”就等于 1/(2 log 2) + 1/(3 log 3) + 1/(55 log 55)。

前面說(shuō)到，“Erd?s和”是有界的，但我們都沒(méi)法知道最大的集合長(zhǎng)什么樣，這個(gè)界又何以知曉呢？

盡管如此，1988年，Erd?s還是給出了一個(gè)值，它推測(cè)這個(gè)界為某個(gè)素?cái)?shù)組成的原始集的和，為1.64。

這個(gè)猜想也把素?cái)?shù)再次推上了“特立獨(dú)行”的“風(fēng)口浪尖”（這也就是標(biāo)題里所說(shuō)的“一個(gè)素?cái)?shù)猜想”的具體含義了）。

幾十年來(lái)，數(shù)學(xué)家們?cè)谧C明這個(gè)猜想方面只取得了部分進(jìn)展。

從大四接觸到這個(gè)問(wèn)題就被迷住了

牛津大學(xué)的博士生小哥Jared Duker Lichtman，從2018年開(kāi)始接觸到這個(gè)問(wèn)題。

那會(huì)兒他還是達(dá)特茅斯學(xué)院的一名大四本科生。

他回憶稱(chēng)，自己一下子就被這個(gè)猜想迷住了：“這么奇怪的推測(cè)怎么會(huì)是真的呢，太不可思議了吧？”

于是接下來(lái)的四年間，從本科到牛津大學(xué)讀博，小哥就跟這個(gè)猜想“杠”上了。

先證明了不大于1.78

誰(shuí)能想到，2018年，他和他在達(dá)特茅斯學(xué)院的導(dǎo)師Carl Pomerance還真先一起側(cè)面證明了原始集的“Erd?s和”不會(huì)大于1.78左右的猜想。

這個(gè)猜想是美國(guó)數(shù)學(xué)家弗蘭茲·梅爾滕斯（Franz Mertens）提出來(lái)的。

他們算出這個(gè)常數(shù)的辦法是先寫(xiě)下原始集中每個(gè)數(shù)字的倍數(shù)，然后將每個(gè)序列中這些倍數(shù)進(jìn)行分解，出現(xiàn)了比當(dāng)前原始數(shù)的最大質(zhì)因數(shù)還要小的因數(shù)，就要丟掉。

然后將剩余的數(shù)字組成一個(gè)新集合。

舉個(gè)具體例子。

假如原始集為{2, 3, 5}，那么2的最大質(zhì)因數(shù)是2，3的最大質(zhì)因數(shù)是3，5的最大質(zhì)因數(shù)是5。

所有2的倍數(shù)全部合格，因?yàn)樗鼈兌际?的公倍數(shù)，沒(méi)有超過(guò)2的質(zhì)因數(shù)2；

所有3的倍數(shù)中，只要是素?cái)?shù)2的公倍數(shù)（因?yàn)闆](méi)有超過(guò)質(zhì)因數(shù)3），都要被扔掉，也就是6、12、18都不合格；

所有5的倍數(shù)中，只要是素?cái)?shù)2和3的公倍數(shù)(因?yàn)闆](méi)有超過(guò)質(zhì)因數(shù)5)，也要被pass，因此10、15、20、30不合格；

再比如55的倍數(shù)中，只要是素?cái)?shù)2、3、5、7的公倍數(shù)，也要被pass，因?yàn)?5的最大質(zhì)因數(shù)為11。

△ 圖源Quanta Magazine

牛津小哥將這種方法比作字典的索引方式，只不過(guò)字典是按字母，這是按素?cái)?shù)來(lái)組織每個(gè)序列。

得到新的集合后，他和導(dǎo)師又開(kāi)始算這些倍數(shù)序列的“密度”。就拿所有偶數(shù)來(lái)說(shuō)，它的序列“密度”就是為1/2，因?yàn)樗信紨?shù)占所有整數(shù)的一半。

然后啊，他們就觀察到，如果給定的一個(gè)集合是原始集，那么所有倍數(shù)序列就不會(huì)重疊（overlap），因?yàn)樗麄兊慕M合“密度”最多為1。

（為什么為1，因?yàn)檎麛?shù)的序列“密度”就是1。）

有了“密度”，就可以算集合的“Erd?s和”了，根據(jù)弗蘭茲·梅爾滕斯提出的定理，一個(gè)大約等于1.78的特殊常數(shù)乘以集合倍數(shù)的組合“密度”，就可以得出原始集的最大“Erd?s和”。

由于小哥和導(dǎo)師證明集合的“密度”最大為1，也就從側(cè)面證明了“Erd?s和”的最大值為1.78。

小哥在牛津大學(xué)的導(dǎo)師對(duì)此贊賞有加，稱(chēng)小哥和原導(dǎo)師的方法其實(shí)是Paul Erd?s最初方法的一種變體，但它更巧妙，得到了一個(gè)“not-tight”和“not-too-bad”的上界。

與此同時(shí)，大家認(rèn)為他們的這個(gè)方法似乎已經(jīng)是目前最頂尖的數(shù)學(xué)家才可以做到的。

再證明1.64

好，成功了一小步，接下來(lái)如何才能把范圍縮小，證明Erd?s給出的1.64呢？

小哥發(fā)現(xiàn)，他和前導(dǎo)師的那一套理論對(duì)于質(zhì)因數(shù)較小的數(shù)字組成的原始集是有效的，可以比較輕松地就證明出來(lái)甚至比1.64還小的常數(shù)。

不過(guò)質(zhì)因數(shù)大了就不太行。

左思右想，轉(zhuǎn)眼到了博士三年級(jí)，他發(fā)現(xiàn)可以給集合中的每個(gè)數(shù)字關(guān)聯(lián)不止一個(gè)倍數(shù)序列。

但和之前一樣，所有這些序列的組合密度最多為1。

比如對(duì)于618這個(gè)數(shù)字（2 x 3 × 103）來(lái)說(shuō)，按照以前的方法不可以出現(xiàn)比103倍還小的倍數(shù)，但現(xiàn)在可以用比103倍還小的倍數(shù)組成序列，比如5倍。

（至于5倍還是幾倍，這都是有一套約束規(guī)則決定的。）

接著他又找到了一種更準(zhǔn)確地算出這些序列的組合“密度”的方法。

最終，他仔細(xì)考慮了原始集的各種情況，在具有最大質(zhì)因數(shù)和最小質(zhì)因的數(shù)字之間找到了一個(gè)平衡，將2018年和現(xiàn)在的兩部分證明拼湊在一起，最終證明了“Erd?s和”小于1.64。

前后一共花了四年的小哥表示，得出這個(gè)結(jié)果不知道是運(yùn)氣好碰上了還是啥，總之做到了。

詳細(xì)證明過(guò)程已經(jīng)被他寫(xiě)成了論文發(fā)在了arXiv。

粗略一番……幾乎是三行一個(gè)公式的情況。感興趣的數(shù)學(xué)大佬可以去看看。

有數(shù)學(xué)家指出，牛津小哥這個(gè)證明結(jié)果真的太引人注目了，因?yàn)樗姆椒ǚ浅Ｂ斆鳎耆蕾?lài)于已有論點(diǎn)就做到了。

與此同時(shí)，同行還表示，這一證明鞏固了素?cái)?shù)在原始集合中的特殊地位。

One More Thing

ps. 小哥有多厲害，可以從大家的反應(yīng)側(cè)面感受到。

就比如有網(wǎng)友通過(guò)小哥的個(gè)人主頁(yè)扒到他列出的最近出版物，發(fā)現(xiàn)從2018年到現(xiàn)在一共有至少18篇。

才讀到博士就有這么多論文，這一數(shù)字讓大家很是震驚。

但有人就站出來(lái)表示了：不足為奇，畢竟天才就是天才啊。（手動(dòng)狗頭）

論文地址：https://arxiv.org/abs/2202.02384

參考鏈接：[1]https://www.quantamagazine.org/graduate-students-side-project-proves-prime-number-conjecture-20220606/[2]https://news.ycombinator.com/item?id=31640297

關(guān)鍵詞： 他26歲發(fā)表論文18篇 剛把上世紀(jì)的素?cái)?shù)猜